Actividad 5 - Parte II - Reconociendo proporcionalidad

RECONOCIENDO PROPORCIONALIDAD 

Las razones y proporciones,  se denomina razón al cociente que es indicado por dos números y que representa la relación entre dos cantidades y una proporción a la igualdad que existe entre dos o más razones

NOCIÓN DE RAZÓN

En el tema “Fracciones y números racionales”  se observa  que entre los usos de las fracciones figura el de razón, entendida, de manera genérica, como la comparación entre una parte y otra parte. Es importante, sin embargo, estudiar con más detalle el uso que se hace del término “razón”, ya que no siempre es sinónimo de “fracción”, lo cual puede acarrear dificultades de comprensión para los estudiantes. Hoffer2 explica claramente estas distinciones. La idea clave es que las fracciones son “cualquier par ordenado de números enteros cuya segunda componente es distinta de cero”; mientras que una razón es “un par ordenado de cantidades de magnitudes”. Cada una de esas cantidades vienen expresadas mediante un número real y una unidad de medida.

 El hecho de que en las razones se refieran a cantidades de magnitudes, medibles cada una con sus respectivas unidades, implica las siguientes diferencias con las fracciones: 

- Las razones comparan entre sí objetos heterogéneos, o sea, objetos que se miden con unidades diferentes. Por ejemplo, 3 jamones por 145 euros. Las fracciones, por el contrario, se usan para comparar el mismo tipo de objetos como “dos de tres partes”, lo que se indica con 2/3. Según esto la razón 3 jamones/145 euros no es una fracción. 

- Algunas razones no se representan con la notación fraccional. Por ejemplo, 10 litros por metro cuadrado. En este caso no se necesita, ni se usa, la notación de fracción para informar de la relación entre dichas cantidades. 

- Las razones se pueden designar mediante símbolos distintos de las fracciones. La razón 4 a 7 se puede poner como 4:7, o 4 ® 7. - En las razones, el segundo componente puede ser cero. En una bolsa de caramelos la razón de caramelos verdes a rojos puede ser 10:5, pero también se puede decir que puede ser 10:0, si es que todos son verdes (no se trata de hacer ninguna división por 0).   

Razón. Una razón indica en forma de división la relación entre dos cantidades. Nos indica cuántas unidades hay en relación a las otras, y se suele indicar simplificando las fracciones.

Por ejemplo, si en un salón de clases tenemos 24 niñas y 18 niños, entonces lo representaremos de alguna de las siguientes formas:

24/18
24:18

Y como la fracción podemos simplificarla al dividirla entre 6, entonces tendremos:

4/3
4:3

Y se lee que existe una razón de 4 a 3, o de 4 por cada 3.

Los términos enteros de una razón son el antecedente y el consecuente.

Razones equivalentes

Se llaman razones equivalentes, a aquellos cocientes cuyo resultado es el mismo; en otras palabras en la formulación de las mencionadas razones, se sostiene una proporcionalidad que redunda en una equivalencia. Hemos trabajado este concepto al hablar de fracciones equivalentes.

Una equivalencia entre razones, se simboliza como cualquier otra equivalencia matemática, vale decir con el símbolo ∼.

Otra vez ejemplificaremos para dejar más claro el concepto. Todas las siguientes razones matemáticas, son equivalentes entre ellas.

2/10    ∼    20/100   ∼    10 /50

De manera que al formular una razón, es importante señalar que existe una condicionante matemática que debe ser contemplada. Veamos de qué se trata:

Se dice que b/d, representa la razón entre dos números b y d, sí y sólo sí, d es distinto de cero. Está claro que la división entre cero no existe, por tanto esta condición o excepción debe ser señalada convenientemente.

En la clase de lenguas extranjeras, la razón entre niñas y niños es de 5 para 8. Si el total es de 65 estudiantes, ¿cuántas niñas hay en esa clase de lenguas o idiomas? Si la razón es dada por la división de dos cantidades , luego 5/13 (5 es el número de niñas y 13 la suma de 5 + 8 de los niños). Si multiplicáramos el numerador y el denominador por 5 para llegar al número total de alumnos en la clase, tendremos que el número de chicas en la clase es de 25, entonces: 25/65

RAZONAMIENTO PROPORCIONAL 

segun Buforn, Á., & Fernández, C. (2014). El desarrollo del razonamiento proporcional entendido como la habilidad de establecer relaciones multiplicativas entre dos cantidades  y de extender dicha relación a otro par de cantidades

PROPORCIONES: SERIES PROPORCIONALES 

  En muchas situaciones prácticas se establecen relaciones entre las cantidades de dos magnitudes, de tal modo que las cantidades de una de ellas se obtienen multiplicando por un mismo número las distintas cantidades de la otra. Por ejemplo, el precio pagado por las distintas cantidades de un artículo – supongamos que barras de pan- se obtiene multiplicando el número de barras que compramos por el precio unitario de dicho artículo –30 céntimos de euro- , de manera que si compramos 3 barras tendremos que pagar 30x3=90 (90 c)., si compramos 5 habrá que pagar 150 c., etc. En estas situaciones tenemos dos series de números, como se indica en la tabla adjunta, que se dicen son proporcionales entre sí.

Número de barras de pan     1   2    3   4   5   6   7

Precio pagado en euros     0’3   0’6   0’9   1’2   1’5   1’8   2’1

En general,  se dice que dos series de números, con el mismo número de elementos, son proporcionales entre sí, si existe un número real fijo k, llamado razón de proporcionalidad, que permite escribir cada valor de la segunda serie como producto por k de los valores correspondiente de la primera serie. La relación entre ambas series de números también se puede describir diciendo que se establece una aplicación lineal de coeficiente k entre los conjuntos numéricos correspondientes: f: A → B,

cumpliéndose que, f(a+b) = f(a) + f(b), y f(ka) = kf(a). En consecuencia, la gráfica cartesiana de estas funciones es una recta 

que pasa por el origen de coordenadas.

PROPORCIONES 

Cuando en la situación considerada sólo intervienen dos pares de números que se corresponden se dice que se establece una proporción. 

A 21 le hacemos corresponder 6, y a 28 le corresponde 8. En este caso, 

6 = 21.(2/7) y 8 = 28. (2/7). Por tanto, las dos series de números  

    21 ⅝  ¾ 6

    28 ¾  ¾ 8

decimos que forman una proporción. Se escribe en la forma de igualdad de dos razones: 

    6/21 = 8/28 o también  8/8 = 21/28

Una proporción aparece en general bajo la forma de una igualdad 
entre dos fracciones. En consecuencia, el producto cruzado de los numeradores y denominadores serán iguales entre sí. Cualquier cambio de disposición entre los cuatro números que forman una proporción que no modifique los productos cruzados de los numeradores y denominadores entre sí dará lugar a una nueva igualdad de fracciones. Una proporción permite escribir cuatro igualdades equivalentes entre dos fracciones (que suelen ser interpretadas en este caso como razones).



En la práctica una de las fracciones tendrá el numerador o el denominador desconocido y se plantea el problema de encontrar su valor usando la relación de proporcionalidad que se establece.

Ejemplo: La razón de chicos a chicas en una clase es de 2 a 3. Hay 12 chicos ¿cuántas chicas hay?

Solución:

 2/3 = 12/x; x = (3/2).12 = 18; hay 18 chicas. En el enunciado de este problema se establece implícitamente una correspondencia entre dos conjuntos de cantidades discretas: “número de chicos” y “número de chicas”. Esto se traduce en que si hay 2 chicos entonces hay 3 chicas, si hubiera 4 chicos habria 6 chicas, etc., lo que se puede expresar con la función lineal, a=(3/2).c (a, número de chicas, c número de chicos) 

Ejemplos de situaciones de proporcionalidad

 Se evidencian algunas  variedad de situaciones en las cuales se ponen en juego el modelo matemático de la proporcionalidad.

- Los numeradores y denominadores de todas las fracciones que son equivalentes entre sí (representantes del mismo racional).

- La longitud de cualquier circunferencia con su diámetro (o su radio): l = pd (2pr)

- Longitud del arco de circunferencia y la amplitud del ángulo central correspondiente a dicho arco.

- El área de un sector circular y la amplitud del ángulo correspondiente.

 - Las longitudes de diferentes segmentos marcados sobre una recta y sus proyecciones paralelas sobre otra recta (teorema de Thales)

- El volumen de líquido introducido en un recipiente con una sección regular (prisma, cilindro, ...) y la altura del líquido en el recipiente. (Esto permite la lectura del volumen graduando la altura).

- La masa de un cuerpo homogéneo y su volumen.

- El volumen de líquido que sale de un grifo de caudal constante y el tiempo que mantenemos el grifo abierto.

 - La distancia medida sobre un plano o mapa realizado a una escala dada y la distancia real.

 - El precio que pagamos al comprar un producto (por ejemplo, al llenar el depósito de gasolina) y la cantidad comprada (litros, en el ejemplo).

 - Fijado un porcentaje, las medidas de las cantidades a las cuales se aplica dicho porcentaje (precios, pesos, etc.) y los valores resultantes del cálculo porcentual.

- La longitud de cualquier circunferencia con su diámetro (o su radio): l = ✓d (2 ✓r)

- Longitud del arco de circunferencia y la amplitud del ángulo central correspondiente a dicho arco.

- El área de un sector circular y la amplitud del ángulo correspondiente.

 - Las longitudes de diferentes segmentos marcados sobre una recta y sus proyecciones paralelas sobre otra recta (teorema de Thales)

- El volumen de líquido introducido en un recipiente con una sección regular (prisma, cilindro, ...) y la altura del líquido en el recipiente. (Esto permite la lectura del volumen graduando la altura)

Ejemplos de situaciones de no proporcionalidad

 - Los ejemplos de magnitudes inversamente proporcionales corresponden a relaciones no proporcionales.

 - La longitud del lado de un cuadrado y su área.

 - Número de habitantes de un país y Producto Nacional Bruto. - La edad y la altura de un niño. - La distancia de frenado y la velocidad de un vehículo.

- El espacio recorrido por un cuerpo en caída libre en el vacío y el tiempo transcurrido.

- Las magnitudes que varían por tramos, como las tarifas de franqueo postal de una carta y su peso; los impuestos pagados y los ingresos.

- Las situaciones en las que los precios aumentan proporcionalmente a la duración o distancia, pero a partir de un valor inicial no nulo (precio de un recorrido en taxi, ya que la bajada de bandera se debe pagar aunque el tiempo o la distancia sea mínima).

Magnitudes directamente correlacionadas

Dos magnitudes son directamente correlacionadas, cuando al aumentar una de ellas, la otra también aumenta o, cuando disminuye una de ellas, la otra también disminuye.

Ejemplos de magnitudes directamente correlacionadas:

​

1. Velocidad y distancia.
2. Caudal y la velocidad.
3. Caudal y el área.
4. Voltaje y la corriente
5. Voltaje y la resistencia.
6. Fuerza eléctrica y la carga.
7. Fuerza gravitacional y la masa.
8. Fuerza y la masa.
9. Fuerza y la aceleración.
10. La energía potencial y la masa.

Magnitud Inversamente Correlacionada:

ocurre cuando los valores entre dos magnitudes disminuyen en una y aumentan en la otra o viceversa.

Ejemplo :

Si 15 obreros utilizan 35 días para realizar una obra ¿Cuantos días utilizaran 20 obreros para realizar la misma obra? NUMERO DE OBREROS DÍAS UTILIZADOS 15 35 20 30 28 22 3218 40 10 43 7

​Ejemplos de magnitudes inversamente correlacionadas:

​

1. Velocidad y el tiempo.
2. Velocidad y el área, en calculo de caudal.
3. La fuerza eléctrica y la distancia.
4. La fuerza gravitacional y la masa.
5. La aceleración y la masa, en calculo de fuerza.
6. Resistencia y la intensidad de corriente.
7. La distancia recorrida y la cantidad de combustible.
8. Los costos y los ingresos.
9. La constante de elasticidad y la deformación.
10. La deformación y el modulo de elasticidad.

Magnitud inversamente proporcional:

se cumple cuando están inversamente correlacionadas y se cumple que el producto entre las medidas correspondientes es constante.

Ejemplo:

4 bolsas de clavos pesan 5 kilos ¿cuánto pesan 20 bolsas de clavos? Este ejemplo es de magnitud directa mente proporcional ya que a mayor número de bolsas mayor peso. Numero de bolsas Peso kg 4 5 20 x Se debe recibir los datos en una tabla. Se escribe la proporción 4/20 =5/xX= =25 Respuesta =20 bolsas pesan 25 kg

EJEMPLO

El profesor de matemáticas tiene un montón de exámenes que corregir, pero prefiere dedicar bastante tiempo a cada examen para no cometer errores.

Después de varias horas, se ha dado cuenta de que corrige a una media de exámenes por hora.

​

En esta situación hay dos magnitudes relacionadas; una sería la cantidad de exámenes y otra el tiempo (medido en horas). La relación entre ellas la marca la cantidad de exámenes que el profesor corrige en una hora. Lo interesante es que a partir de una pareja de valores, que expresan una razón, podemos saber los exámenes que corrige el profesor en cualquier cantidad de horas, si se respeta la proporción.

Como puedes observar, al multiplicar una magnitud por un número, la otra resulta multiplicada por ese mismo número. Lo mismo sucede si dividimos.

​

 Dos magnitudes se dicen directamente proporcionales si al multiplicar (dividir) una de ellas por un número distinto de cero, la otra resulta multiplicada (dividida) por ese mismo número

Regla de tres simple directa:

• se deben organizar los datos de acuerdo a las magnitudes
• se plantea una proporción y
• se aplica las propiedades de las proporciones para hallar el valor desconocido

Ejemplo

De 200 litros de agua de mar se pueden extraer  8  Kg  de        sal ¿Cuántos   litros  de  agua  se deben       obtener     si  se   quieren     30  Kg    de  sal?

                           Cantidad  de  Agua                                        Kg de Sal

    200                                                     8

X                                                       30

Es     una R3D                                            8X = 200 x 30                                                

                       x = 200 X 30/ 8                                                                                                       

                                                                                 X = 750   Litros  de Agua

           

Regla de tres simple inversa:

• se nombra la cantidad desconocida con una letra y se elabora una tabla con las cantidades que intervienen
• se plantea una proporción de acuerdo con la propiedad de las magnitudes inversamente proporcionales y se encuentra el termino desconocido.

Si        20  obreros  pueden  construir  un  Muro  en  9 días ¿Cuántos  días  se  demora  construir  el mismo Muro con 15  obreros?

Solución:                               # de Obreros                    # de Días           

                                                                  15                                         9

                                                                  20                                        x

                                                        15X = (20)(9)                                                   X = (20)(9)

                                                                                                                                        15  

                                                                                                                                                            X = 

12 Días

Regla de tres compuesta:

• se organizan los datos en una tabla
• se compara la magnitud de la incógnita con cada una de las otras dos magnitudes para determinar el tipo de proporcionalidad que hay entre ellas, manteniendo las constantes en cada caso , la magnitud restante.
• se plante la proporción de acuerdo con el caso correspondiente de la propiedad fundamental de la proporcionalidad compuesta y se halla el valor desconocido.